Analyse Spectrale en Mécanique

Quiberon
11-16 Sept. 2017

6^ème école d'été de mécanique théorique à destination des doctorants et chercheurs en Mécanique

Le principe de l'organisation de cette série d'écoles d'été de mécanique théorique est né du constat d'une certaine désaffection de la communauté mécanicienne française vis-à-vis des fondements de sa discipline. Ce mouvement est sans doute en partie une conséquence des retombées spectaculaires des progrès de la mécanique dans les domaines technologiques. Il en a résulté un souci légitime de la communauté mécanicienne de produire un savoir-faire immédiatement utilisable par la société en vue du progrès technologique. Il nous semble cependant vital de rappeler que les progrès des fondements de la mécanique sont tout aussi importants que l'accompagnement de ses applications immédiates, et que ce sont les progrès fondamentaux d'aujourd'hui qui font les retombées technologiques de demain. Nous considérons également comme essentiel que toute formation dans le domaine de la Mécanique comprenne une sensibilisation aux aspects théoriques qui en font un champ de connaissance vivant étendant sans cesse son champ d'application.

Pour remettre la mécanique fondamentale à l'honneur, nous nous proposons d'organiser à intervalles réguliers des écoles concernant chacune un thème de mécanique théorique dont au moins une connaissance élémentaire nous paraît indispensable à tout mécanicien professionnel. Les thèmes retenus pour les quatre premières écoles de mécanique théorique ont été ceux des « Méthodes Asymptotiques en Mécanique », des « Milieux Continus Généralisés », de « l'Analyse Variationnelle et Microstructuration », des « Instabilités et Bifurcation en Mécanique » et des « Méthodes Géométriques en Mécanique ». Les sites web de ces éditions précédentes sont consultables et accessibles à partir du site web du groupe de travail « Mécanique Théorique » mecatheo.ida.upmc.fr. La sixième école de mécanique théorique sera consacrée au thème de « l'Analyse Spectrale en Mécanique ».

L'analyse de l'évolution dynamique d'un système peut souvent être envisagée dans le cadre d'une théorie mécanique linéarisée. Dans le cas des systèmes mécaniques discrets, la théorie spectrale des matrices permet alors de réduire l'analyse d'une évolution dynamique complexe à celle d'un nombre fini d'oscillateurs indépendants. Cette idée fondamentale se retrouve dans de nombreuses branches de la mécanique moderne, allant de l'acoustique à la stabilité et au contrôle, en passant par le calcul numérique. La plupart du temps, les systèmes en jeu ont un nombre infini de degrés de liberté (milieux continus) et l'analyse repose alors sur des généralisations adéquates de la théorie spectrale des matrices au cas des espaces de dimension infinie.

La recherche d'efficacité conduit alors souvent à introduire et manipuler diverses « fonctions propres » sous forme purement opératoire en perdant de vue les problèmes spectraux sous-jacents. Dans l'esprit des écoles d'été de mécanique théorique de Quiberon, nous nous proposons de revenir au point de vue fondamental, qui est celui de l'étude des problèmes spectraux en dimension infinie et d'étudier en parallèle comment il se décline dans ses divers champs d'application à la mécanique.

• Théorie spectrale dans un espace de Hilbert de dimension infinie. Spectre discret, spectre essentiel. Diagonalisation d'un opérateur auto-adjoint compact. Extension au cas non-compact (Principe du Min-Max).
• Applications aux modes propres en acoustique. Cas des cavités et des géométries ouvertes. Modes dans un guide d'onde et ondes de surface. Modes piégés et quasi-piégés.
• Vibrations des systèmes couplés. Cas de l'interaction fluide-structure. La méthode du contrôle de phase et son application à la réduction de vibration des structures flexibles.
• Décomposition orthogonale aux valeurs propres. Le point de vue spectral permet de construire une base de modes propres orthogonaux représentative des configurations les plus probables d'un système. Cela conduit à une technique très efficace, sur un plan pratique et numérique, pour approximer un système de dimension élevée par un autre de dimension beaucoup plus petite.

Cette manifestation est subventionnée par le CNRS au titre des écoles thématiques 2017, ainsi que par l'AUM-AFM.